X25519

在密码学中，Curve25519是一种椭圆曲线，被设计用于椭圆曲线迪菲-赫尔曼（ECDH）密钥交换方法，可用作提供256比特的安全密钥。它是不被任何已知专利覆盖的最快ECC曲线之一。ECC的主要优势是它相比RSA加密算法使用较小的密钥长度并提供相当等级的安全性。

椭圆曲线密码学的许多形式有稍微的不同，所有的都依赖于被广泛承认的解决“椭圆曲线离散对数”问题的困难性上，对应有限域上椭圆曲线的群。

Symmetric Key Length	Standard asymmetric Key Length	Elliptic Curve Key Length
80	1024	160
112	2048	224
128	3072	256
192	7680	384
256	15360	512

針對密碼學應用上的椭圆曲线是在有限域（不是實數域）的平面曲线，其方程式如下：

[math]\displaystyle{ y^2 = x^3 + ax + b, \, }[/math]

有一個特別的无穷远点（標示為∞）。座標會選定為特定的有限域，其特征不等於2或是3，也有可能是更複雜的曲線方程。

由椭圆曲线產生的集合是阿贝尔群，以无穷远点為單位元。此群的結構會繼承以下代数簇中除子的結構：

[math]\displaystyle{ \mathrm{Div}^0 (E) \to \mathrm{Pic}^0 (E) \simeq E, \, }[/math]

Algprithm

所用的曲線是[math]\displaystyle{ y^2 = x^3 + 486662x2 + x }[/math]，蒙哥馬利曲線，在由素數[math]\displaystyle{ 2^255 - 19 }[/math]定義的素數場的二次擴展上，並且使用基點[math]\displaystyle{ }[/math]。這個基點的階是[math]\displaystyle{ (2^{252} + 27742317777372353535851937790883648493) }[/math]。

With those point operations, we'll be doing a key exchange that looks like this:

[math]\displaystyle{ kb * (ka * P) = ka * (kb * P) }[/math]

Let's give the above terms some better names:

• ka  : Alice's secret key - a 255-bit (~32-byte) random number
• kb  : Bob's secret key - a 255-bit (~32-byte) random number
• P  : a point on the curve, where x=9
• ka∗P  : Alice's public key
• kb∗P  : Bob's public key
• ka∗kb∗P  : The shared secret
• Once Alice and Bob have a shared secret, they can use it to build encryption keys for a secure connection.