B-Tree alrogithm

B-Tree(区别于二叉树)是一种平衡多叉搜索树。

B-Tree的定义

根据Knuth的定义，${\displaystyle m}$阶的B-Tree有如下的特性：

• 节点左边的元素都比它小，节点右边的元素都比它大=
• 每个节点最多有${\displaystyle m}$个子节点=
• 除了根节点之外，非叶节点（没有孩子的节点）至少有${\displaystyle m/2}$个子节点=
• 如果根节点不是叶子节点则其至少有两个子节点=
• 包含${\displaystyle k}$个子节点的节点共有${\displaystyle k-1}$个键=
• 所有的叶子节点的高度相同=

一般表示B-Tree有两种表示方法：

• B-Tree of order ${\displaystyle d}$ or ${\displaystyle M}$
• B-Tree of degree or ${\displaystyle t}$

Kuath: B-Tree of Order ${\displaystyle d}$

其中${\displaystyle M=5}$ 表示每一个节点中*至多有5个子节点*；则有如下的特性： $$ \begin{align} &Max(children) = 5 \\ &Min(children) = ceil(M/2) = 3 \\ &Max(keys) = Max(children) - 1 = 4 \\ &Min(keys) = Min(children) - 1 = 2 \end{align} $$

CLRS: B-Tree of min degree ${\displaystyle t}$

而${\displaystyle t=5}$ 则定义了一个节点中*至少有5个子节点* $$ \begin{align} &Max(children) = 2t = 10 \\ &Min(children) = t = 5 \\ &Max(keys) = 2t -1 = 9 \\ &Min(keys) = t - 1 = 4 \end{align} $$

这里degree指的是一个节点中子节点的数目。CLRS中用的最小度，即节点中最少有多少个子节点。例如t=2即表示的是2-3-4 tree，每个子节点中可以有2、3或者4个children。

CS673: B-tree of maximum degree k

而也有使用Max degree的，例如DB Virtualization里面，使用的就是最大度（即最多有k个子节点），则：

• 所有的interior node最少有k/2个children，最多有k个
• 2-3树即对应到maximum degree of 3

对应关系

这些表示方法的对应关系如下：

Kunth Order, k CLRS min degree CS673 max defree (min, max) children

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---------------- ---------------- --------------------

k=0 - - - k=1 - - - k=2 - - - k=3 - t=3 (2, 3) k=4 t=2 t=4 (2, 4) k=5 - t=5 (3, 5) k=6 t=3 t=6 (3, 6) k=7 - t=7 (4, 7) k=8 t=4 t=8 (4, 8) k=9 - t=9 (5, 9) k=10 t=5 t=10 (5, 10)

可见Order实际等价于max degree。

算法复杂度

根据B-Tree的定义（Min Degree t)，如果Btree的高度为${\displaystyle h}$, 考虑最少含有多少个key, 则当：

• Root节点包含1个key
• 其他所有节点有且仅有有${\displaystyle t-1}$ 个key

这种场景时，所包含的key最少：

设${\displaystyle S_{h}}$为Btree第h层的节点数，容易看出:

• 当${\displaystyle depth=0}$ 时，${\displaystyle S_{0}=1}$
• 当${\displaystyle depth=1}$ 时，${\displaystyle S_{1}=2}$
• 当${\displaystyle depth=2}$ 时，${\displaystyle S_{2}=2\cdot t}$
• 当${\displaystyle depth=h}$ 时，${\displaystyle S_{h}=2\cdot t^{h-1}}$

从${\displaystyle h=1}$开始，每一层的key数目即${\displaystyle S(key)_{h}=S_{h}\cdot (t-1)}$，根据等比数列求和公式即可算出总的key数目为：

$$ \begin{aligned} Min(keys) &=1 + \sum_{i=1}^{h}{(t-1)\cdot 2t^{i-1}} \\

   &=1 + (t-1)\sum_{i=1}^{h}{2t^{i-1}} \\
   &=1 + 2(t-1)\sum_{i=1}^{h}{t^{i-1}} \\
   &=1 + 2(t-1){\Big(\frac{1-t^h}{1-t}\Big)} \\
   &=2t^h-1

\end{aligned} $$

设${\displaystyle n}$ 为B-Tree的所有key数，则有：

$$ \begin{aligned} n &\geq Min(keys) \\

 &=2t^h-1

\end{aligned} $$

可以得：

$$ h \leq log_{t}\frac{1+n}{2} $$

其算法时间和空间复杂度如下：

            平均                最坏

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------------------ ------------------

空间复杂度 $O(n)$ $O(n)$ 查找 $O(log \quad n)$ $O(log \quad n)$ 插入 $O(log \quad n)$ $O(log \quad n)$ 删除 $O(log \quad n)$ $O(log \quad n)$

B-tree算法实现

search操作

根据B-tree的定义，左边的key都比其小，右边皆比其大，则不应该存在重复的key。查找算法类似于2叉树的查找，步骤如下：

• 从根节点开始，依次同节点中${\displaystyle k_{i}}$进行比较，如果大于或者等于${\displaystyle k_{i}}$则停止
• 如果找到相等的key，则停止搜索
• 如果没有找到，则到下一级节点中进行查找；如果已经是叶子节点，则查找结束

通常当${\displaystyle M}$较小时，我们在节点中查找的时候只需要进行顺序查找即可；如果较大的情况下，可以进行二分查找提高搜索的效率。

B-TREE-SEARCH(x, k)
  i ← 1
  while i ≤ n[x] and k ≥ key[x, i]
    do i ← i + 1
  if i ≤ n[x] and k = key[x, i]
    then return (x, i)
  if leaf[x]
    then return NIL
    else c = DISK-READ(c[x, i])
      return B-TREE-SEARCH(c, k)

insert操作

节点的分裂

在进行insert之前，需要考虑的就是，btree规定了一个节点中最大的child的数目，当一个节点中子节点的数目超过允许的最大值的时候，需要将节点拆分为两个。例如上面的例子，如果再插入20的话，如果直接插入则子元素已经超出了最大允许的数目：

在上面的例子中，拆分之后，两个子节点的元素个数正好是平均的，但是，如果order为偶数的情况下是不平均的：

值得注意的是，因为每次分裂高度会增加，同时会增加父元素的key个数，那么也可能导致父节点满。所以如果上层节点也满了的话，也是需要递归的分裂的：

节点插入过程

当order为奇数时，插入A~Q的过程如下：

当order为偶数时，插入A-J的过程如下：

在Insert的过程中，一般的做法是先将元素插入到叶节点，这时候如果发现叶节点满了，需要将其Split，并将其中一个key提升到父节点中。同时，需要看父节点是否满，如果满了也需要进行拆分，直到根节点。但是这种做法需要插入后再回溯，比较难以实现。另一种方式则是在插入的过程中，一旦发现节点已经满了，无法再容纳元素，则先将其拆分，然后再继续朝下查找。这样只需要查找一次，再最后插入到叶子节点的时候，能够保证不会溢出。

抢占式分裂（Preemtive Split）

如上所说，在insert操作的时候，是先插入元素，然后再进行拆分的，这样可能插入之后还需要一直递归到上层节点进行拆分。例如下面的一个场景：

而Preemtive Split正是在insert之前即进行拆分，当发现一个节点快要满了的时候，就先split之后再插入，自顶向下，不需要再回溯到上一层的节点。

从上面的例子可以看到，两种方式构造出的Btree在插入I之后其实是不大一样的，而当J插入之后则变成一致了。

创建一个空的B-tree

B-TREE-CREATE(T)
  x ← ALLOCATE-NODE()
  leaf[x] ← TRUE
  n[n] ← 0
  DISK-WRITE(x)
  root[T] ← x

B-Tree变种

• 2-3-4树：Order为4的B-tree又被称之为2-3-4 tree (每个非叶子节点有2个、3个或者4个子节点)
• 2-3树：Order为3的B-tree又被称之为2-3 tree (每个非叶子节点有2个或者3个子节点)
• B+-tree：A B-tree in which keys are stored in the leaves.
• B*-tree：A B-tree in which nodes are kept 2/3 full by redistributing keys to fill two child nodes, then splitting them into three nodes.

参考资料:

• Wikipedia - B-tree
• Graduate Algorithms CS673-2016F-11 B-Trees
• NIST B-tree
• CHAPTER 19: B-TREES
• What is the difference btw “Order” and “Degree” in terms of Tree data structure