Paxos algorithm
Paxos解决的是什么问题
state machine replication
如上所示的系统中，如果客户端要执行某个命令，那么将遵循如下的步骤：
- 发送命令到其中某一个server
- server首先将命令记录到log中，然后将命令发送到其他的服务中；其他server同样将其记录到log中
- 当命令完整的记录到各个server之后，就可以传到state machine去执行了，并将结果返回给客户端
其中，consensus module用来保证log的复制是正确的，也就是paxos要解决的问题。
那么，对于这样一个系统有哪些要求呢？
- 所有的服务器将以同样的顺序执行相同的命令
- 只要集群中大多数服务器可用，系统就是可用状态
Paxos算法
The Paxos algorithm, when presented in plain English, is very simple.
共识问题
上述问题可以简化为，有多个服务可以propose value，而共识算法将保证有且仅有一个value会被选中（chosen）。这里面隐含的条件是：
- 如果没有任何value被propose，那么也不应该有任何值被选中
- 值一旦被选中，各个服务应该可以知晓（learn）选中的值
从而可以得出共识算法实现的安全性约束：
Safety requirements
- Validity (or non-triviality)
- Only a value that has been proposed may be chosen, A process never learns that a value has been chosen unless it actually has been.
- Agreement (or consistency, or safety)
- Only a single value is chosen, and
- Termination (or liveness)
- if a value has been chosen, then a process can eventually learn the value.
assumptions
另外，paxos中是不考虑拜占庭问题的，有如下假设成立：
- Agents operate at arbitrary speed, may fail by stopping, and may restart. Since all agents may fail after a value is chosen and then restart, a solution is impossible unless some information can be re- membered by an agent that has failed and restarted.
- Messages can take arbitrarily long to be delivered, can be duplicated, and can be lost, but they are not corrupted. 也即是 fail-stop/crash (non-Byzantine) and message delay/loss
Choosing a Value
Quorum
Paxos made simple中，从最简单（但不正确）的方式开始，逐步加强约束，最终得到正确的算法。
首先最简单的情况下，只有一个acceptor，然后choose第一个收到的提案。这种办法显然不行，因为一旦这个acceptor出问题了整个系统就没法用了，所以需要有多个acceptor，当系统中有大多数acceptor接受了提案则认为值被choosen。
为了在集群中形成多数派，其数目必须为基数，设集群中server总数为$$2F + 1$$，则至少可以由$$F+1$$个server构成多数派。
P1
如果仅有一个proposer提出了一个提案，那么这个提案显然是需要被接受的。也就是说，acceptor必须要接受它收到的第一个提案，否则如果只有一个proposal的时候就无法选出任何提案了。因此可推导出约束P1：
P1. An acceptor must accept the first proposal that it receives.
但是这样是有问题的，因为如果不同的proposal提出多个提议，分别被不同的acceptors接受，则无法形成多数派：
即使只有两个提案，如上图，如果其中一个acceptor失败则也无法知晓到底哪个值被choose了。
因此说，只允许acceptor接受一个提议是不行的。acceptor必须要能够允许接受多个提议。对于不同的proposal，以编号的形式来表示，则每个提议可表示为$$p_{i}(v)$$，即第$$i$$个提议值为$$v$$。
P2
为了解决P1的问题，可以允许acceptor接受多个提议，但是保证这些提议的值是一样的。也即：
P2. If a proposal with value v is chosen, then every higher-numbered proposal that is chosen has value v.