一个小数的二进制是怎么样的呢？我们先看看一个二进制的小数怎么转换成十进制： $$ \begin{aligned} 11101.01011_{10} &= 1 \times 2^{4} + 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} + 1 \times 2^{-4} + 1 \times 2^{-5} \\

 &= 16 + 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \\
 &= 29.34375

\end{aligned} $$

IEEE 754

IEEE 754 标准中规定了浮点数在计算机中的表示方法，主要就是单精度(float)和双精度(double):

              S Exp      Fraction
Single(32bit) ▯▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
Double(64bit) ▯▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯

其计算公式为： $$ x = (-1)^{S}\times(1+ Fraction)\times 2^{(Exponent-Bias)} $$ 其中，Bias为指数偏移值，是一个固定值，即$Bias=2^{e-1} - 1$ 其中e为指数部分的比特长度。

单精度$Bias = 2^{7} - 1 = 127$
双精度$Bias = 2^{10} -1 = 1023$

举个例子，刚才我们算出来的小数可以这样表示：

$$ \begin{aligned} 29.34375 &= 11101.01011 = 11101.01011_{2} \times 2^{0} \\

   &= 1.110101011_{2} \times 2^{4} \\
   &= (-1)^{0} \times (1 + 0.110101011_{2}) \times 2^{131 - 127} \\
   &= (-1)^{0} \times (1 + 0.110101011_{2}) \times 2^{10000011_{2} - 127} \\
   &= (-1)^{0} \times (1 + 0.110101011_{2}) \times 2^{1027 - 1023} \\
   &= (-1)^{0} \times (1 + 0.110101011_{2}) \times 2^{10000000011_{2} - 127} \\

\end{aligned} $$

因此在计算机中，表示为：

Float:
▯▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
010000011110101011..............

Double:
▯▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
010000000011110101011...........................................

不足的部分补上0，即：$0100000111101010110000000000000_{2}=41eac000{16}$

除了正常的浮点数外，还有几个比较特殊的：

Description Float(32bit)

--------------------------------------------

Zero 0 00000000 00000000000000000000000 Negative Zero 1 00000000 00000000000000000000000 Infinity 0 11111111 00000000000000000000000 Negative Infinity 1 11111111 00000000000000000000000 Not a Number (NaN) 0 11111111 00001000000000100001000

十进制与二进制转换

计算方式为，将小数的整数部分与2取余倒序排列；将小数部分与2取整正序排列。例如，将3.14转换为float:

- 首先将整数部分直接转换为二进制 $3_{10} = 11_{2}$

   - $3\mod2 = \fbox{1}$
   - $1\mod2 = \fbox{1}$

- 小数部分为0.14，不断乘以2后取整数部分，然后用小数继续乘以2直到值为1

   - $0.14 \times 2 = \fbox{0}.28$ 
   - $0.28 \times 2 = \fbox{0}.56$
   - $0.56 \times 2 = \fbox{1}.12$
   - $0.12 \times 2 = \fbox{0}.24$
   - $0.24 \times 2 = \fbox{0}.48$
   - $0.48 \times 2 = \fbox{0}.96$
   - $0.96 \times 2 = \fbox{1}.92$
   - $0.92 \times 2 = \fbox{1}.84$ 
   - .....
   - 重复以上步骤，得到$0.14_{10}=0.001000111101011100001010001111010..._{2}$

舍入操作

对于尾数多余精度的情况，需要舍去多余的部分，但不是按照四舍五入的方式，而是按照”向偶舍入“的方式，意思就是，如果多余的部分大于0.5($0.5_{10} = 0.1_{2})$则最低位进1；如果小于0.5则舍去；如果正好是等于0.5则根据最低位判断，如果最低位是1则进位，否则舍去。这样按照统计学来看，对于一个小数有相同的机会进位或者被舍去。

例如对于上例中的3.14，我们可以得到：

$$ \begin{aligned} 3.14 &= 11.001000111101011100001010001111010..._{2} \\

   &= 1.1001000111101011100001010001111010..._{2} \times 2^{1} \\
   &= (-1)^{0} + (1 + 0.1001000111101011100001010001111010..._{2}) \times 2^{128 - 127} \\
   &= (-1)^{0} + (1 + 0.10010001111010111000010{\color{blue}{10001111010...}}_{2}) \times 2^{10000000_{2} - 127} \\
   &\approx (-1)^{0} + (1 + 0.1001000111101011100001{\color{red}1}_{2}) \times 2^{10000000_{2} - 127}

\end{aligned} $$

因此3.14的float表示为：

▯▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
01000000010010001111010111000011

还原

那么，对于一个存储在磁盘上的浮点数，我们怎么将它加载到内存中来？对于C来说，实际也是采用的IEEE754标准(float, double)，所以实际上浮点数在内存中的表示是一致的，直接转换即可：

struct ConstantFloat {
		mutable u4 bytes;
		float &getValue() const {
			return *reinterpret_cast<float *>(&bytes);
		}
	};

参考：