IEEE 754浮点数转换

Riguz Lee · 2019-06-27 · 刨根问底, 协议

一个小数的二进制是怎么样的呢？我们先看看一个二进制的小数怎么转换成十进制：

\begin{aligned} {11101.01011}_{10} & = 1 \times 2^{4} + 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} + 0 \times 2^{- 1} + 1 \times 2^{- 2} + 1 \times 2^{- 3} + 1 \times 2^{- 4} + 1 \times 2^{- 5} \\ = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \\ = 29.34375 \end{aligned}

(1)

IEEE 754

IEEE 754 标准中规定了浮点数在计算机中的表示方法，主要就是单精度(float)和双精度(double):

              S Exp      Fraction
Single(32bit) ▯▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
Double(64bit) ▯▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯

其计算公式为：

𝑥 = {(- 1)}^{\times (1 + 𝐹 𝑟 𝑎 𝑐 𝑡 𝑖 𝑜 𝑛)} \times 2^{(𝐸 𝑥 𝑝 𝑜 𝑛 𝑒 𝑛 𝑡 - 𝐵 𝑖 𝑎 𝑠)}

(2)

其中，Bias为指数偏移值，是一个固定值，即 $𝐵 𝑖 𝑎 𝑠 = 2^{𝑒 - 1} - 1$ 其中e为指数部分的比特长度。

单精度 $𝐵 𝑖 𝑎 𝑠 = 2^{7} - 1 = 127$
双精度 $𝐵 𝑖 𝑎 𝑠 = 2^{10} - 1 = 1023$

举个例子，刚才我们算出来的小数可以这样表示：

\begin{aligned} 29.34375 & = 11101.01011 = {11101.01011}_{2} \times 2^{0} \\ = {1.110101011}_{2} \times 2^{4} \\ = {(- 1)}^{0} \times (1 + {0.110101011}_{2}) \times 2^{131 - 127} \\ = {(- 1)}^{0} \times (1 + {0.110101011}_{2}) \times 2^{10000011_{2} - 127} \\ = {(- 1)}^{0} \times (1 + {0.110101011}_{2}) \times 2^{1027 - 1023} \\ = {(- 1)}^{0} \times (1 + {0.110101011}_{2}) \times 2^{10000000011_{2} - 127} \end{aligned}

(3)

因此在计算机中，表示为：

Float:
▯▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
010000011110101011..............

Double:
▯▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
010000000011110101011...........................................

不足的部分补上0，即： $0100000111101010110000000000000_{2} = 41 𝑒 𝑎 𝑐 00016$

除了正常的浮点数外，还有几个比较特殊的：

十进制与二进制转换

计算方式为，将小数的整数部分与2取余倒序排列；将小数部分与2取整正序排列。例如，将3.14转换为float:

首先将整数部分直接转换为二进制 $3_{10} = 11_{2}$
- $3\mod2 = \fbox{1}$
- $1\mod2 = \fbox{1}$
小数部分为0.14，不断乘以2后取整数部分，然后用小数继续乘以2直到值为1
- $0.14 \times 2 = \fbox{0}.28$
- $0.28 \times 2 = \fbox{0}.56$
- $0.56 \times 2 = \fbox{1}.12$
- $0.12 \times 2 = \fbox{0}.24$
- $0.24 \times 2 = \fbox{0}.48$
- $0.48 \times 2 = \fbox{0}.96$
- $0.96 \times 2 = \fbox{1}.92$
- $0.92 \times 2 = \fbox{1}.84$
- …..
- 重复以上步骤，得到 ${0.14}_{10} = 0.001000111101011100001010001111010 . . ._{2}$

舍入操作

对于尾数多余精度的情况，需要舍去多余的部分，但不是按照四舍五入的方式，而是按照“向偶舍入”的方式，意思就是，如果多余的部分大于0.5( ${0.5}_{10} = {0.1}_{2})$ 则最低位进1；如果小于0.5则舍去；如果正好是等于0.5则根据最低位判断，如果最低位是1则进位，否则舍去。这样按照统计学来看，对于一个小数有相同的机会进位或者被舍去。

例如对于上例中的3.14，我们可以得到：

\begin{aligned} 3.14 & = 11.001000111101011100001010001111010 . . ._{2} \\ = 1.1001000111101011100001010001111010 . . ._{2} \times 2^{1} \\ = {(- 1)}^{0} + (1 + 0.1001000111101011100001010001111010 . . ._{2}) \times 2^{128 - 127} \\ = {(- 1)}^{0} + (1 + 0.10010001111010111000010 10001111010 . . ._{2}) \times 2^{10000000_{2} - 127} \\ {\approx (- 1)}^{0} + (1 + 0.1001000111101011100001 1_{2}) \times 2^{10000000_{2} - 127} \end{aligned}

(4)

因此3.14的float表示为：

▯▮▮▮▮▮▮▮▮▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯▯
01000000010010001111010111000011

还原

那么，对于一个存储在磁盘上的浮点数，我们怎么将它加载到内存中来？对于C来说，实际也是采用的IEEE754标准(float, double)，所以实际上浮点数在内存中的表示是一致的，直接转换即可：

struct ConstantFloat {
        mutable u4 bytes;
        float &getValue() const {
            return *reinterpret_cast<float *>(&bytes);
        }
    };

参考：